No son las matemáticas, estúpido

Es la economía, estúpido. James Carville

Las proposiciones matemáticas, en cuanto tienen que ver con la realidad no son ciertas; y en cuanto que son ciertas, no tienen nada que ver con la realidad. Albert Einstein.

En los inicios de este blog escribí dos o tres veces sobre la importancia de tener cierta cultura científica, y en particular cierta cultura matemática para entender el mundo en el que vivimos. Vuelvo sobre el tema a raíz de cierto curioso argumento que he escuchado varias veces como defensa de los recortes.

No sé si lo habré mencionado alguna vez, pero me gusta ver los debates de la televisión. Normalmente veo los del Canal 24h o los de VTelevisión, también a veces los de La Sexta, y más raramente los de 13TV e Intereconomia. Creo, aunque no me atrevería a jurarlo, que fue en Al rojo vivo y en El gato al agua donde oí a un tertuliano afirmar que los recortes son inevitables y pretender justificarlo con las palabras textuales "son matemáticas". Con toda seguridad se lo oí decir a Alfonso Rojo, aunque no solamente a él.

Me temo que con esta afirmación estas personas solo consiguen demostrar una cosa: su escasa comprensión de las matemáticas. Expresar algo, lo que sea, en términos matemáticos no basta para convertirlo en una ley inexorable. Incluso cuando hablamos de leyes físicas encontramos la manera de utilizarlas en nuestro beneficio. Pero vamos por partes.

Hace casi exactamente dos años ponía un ejemplo tomado del matemático John Allen Paulos referido a recetas de cocina. Ya sabéis, esas en las que se utilizan medidas tan exactas como un tomate pequeño, medio vaso de vino o una cucharada de aceite y al final se dice que la ración contiene 761 calorías. Es obviamente ridículo partir de datos inexactos y estimativos y pretender que el resultado sea exacto. Pues bien, resulta que unos señores muy serios han llegado a la conclusión matemáticamente inexorable de que hay que recortar las pensiones porque estiman que en 2050 habrá no sé cuantos cotizantes, viviremos no sé cuantos años, etc. No digo que sus estimaciones no sean fundadas, pero no dejan de ser eso, estimaciones tan exactas como el número de calorías que hay en un tomate pequeño.

Pero no es ese, a pesar de todo, su principal error. Eso es pecata minuta. Su gran error radica en no entender que las matemáticas no nos dicen ni pueden decirnos lo que debemos hacer. Las decisiones las toman las personas, no las ecuaciones. Las matemáticas no son más que una herramienta que nos ayuda a decidir lo que hemos de hacer después de que hayamos determinado lo que queremos conseguir. Si se me permite un símil tonto, es como un mecánico que aprieta más y más una tuerca y dice que no se puede aflojar por culpa de la llave. No es la llave, idiota, es que tienes que girar hacia el otro lado. 

Vamos a verlo con un ejemplo sencillo pero característico del uso de las matemáticas en la toma de decisiones. Lo extraigo de unos viejos apuntes universitarios.

Un fabricante se enfrenta a tres escenarios posibles para el próximo año: estima que hay un 10% de probabilidad de que la demanda de su producto disminuya, un 30% de que se mantenga, y un 60% de que disminuya. Debe decidir si le conviene mantener el mismo nivel de producción, aumentarlo un 5% o aumentarlo un 5%. Sus conocimientos y su experiencia le permiten estima cuál será el resultado en función de la decisión que tome y el escenario que se produzca. Se resume en el cuadro siguiente.

Las cifras de la columna de la derecha son la "esperanza matemática" para cada posible decisión. Se obtienen multiplicando cada resultado por su probabilidad y sumando los productos de cada fila. Vemos que la mayor expectativa está en la tercera decisión, pero también es la más arriesgada ya que en dos de los tres escenarios se producirían pérdidas, severas en el peor de los casos. Por el contrario, la primera decisión es segura, con beneficio en los tres escenarios, pero con expectativas bajas.

Lo primero que habría que observar es que se trata de un modelo probabilístico, las esperanzas matemáticas adquieren su sentido cuando se aplican a series de decisiones homogéneas, y no a una única decisión aislada.

Lo siguiente sería considerar si la empresa puede asumir la pérdida que se produciría en el peor de los casos posibles. Por muy alta que sea la expectativa de la tercera decisión y por baja que sea la probabilidad del primer escenario, quizá no estemos dispuestos a correr el riesgo de acabar en quiebra.

Por otra parte, aunque la primera decisión es segura y no producirá pérdidas en ningún escenario, los beneficios son pequeños y tal vez nos interese correr un riesgo moderado para obtener mayores beneficios.

Entonces, ¿qué decisión nos dicen las matemáticas que debemos tomar? No nos lo dicen. Solo nos proporcionan información para que nosotros tomemos la decisión considerando qué riesgos podemos asumir y qué queremos conseguir: beneficio a toda costa, estabilidad y continuidad en el negocio, o un equilibrio intermedio.

Yo me voy a permitir el riesgo de hacerme pesado con un último ejemplo. Tal vez recordéis un ejercicio que nos planteaban en el colegio. Dada una determinada superficie de cartón, debíamos hallar las dimensiones de la caja que hiciese el volumen máximo, o bien al contrario, dado un determinado volumen obtener las dimensiones de la caja que minimizasen la superficie de cartón necesaria.

Pues bien, volviendo al problema de los recortes y aunque el ejemplo pueda parecer absurdo, nos lo podemos plantear de dos maneras, como la caja de cartón. Podemos partir del  "volumen" de Estado social que queremos y minimizar los gastos que lo hagan posible (y maximizar los ingresos, cosa que nunca se menciona), o bien podemos partir de un determinado volumen de gasto y maximizar el Estado social que permitan. En la realidad sospecho que el enfoque que se le está dando es aún más sencillo: minimizar el Estado social a toda costa. Pero esa es otra historia.

En todo caso, no son las matemáticas.

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Matemáticas para la vida

El paro desestacionalizado

Nos decía el señor Rajoy, antes de que se publicaran los datos del paro del mes de mayo, que iban a ser esperanzadores. Bien, ahora ya están publicados y resulta que el paro registrado ha disminuido con respecto a abril en 98.265 personas. Un dato positivo según el Gobierno, que indica el inicio de la recuperación. Naturalmente de inmediato le han recordado lo que la actual Vicepresidenta decía hace dos años al Gobierno anterior: decir que el paro baja en mayo es como decir que los días son más largos.

¿Quién tiene razón? Yo no voy a contestar a esa pregunta, tan solo quiero aportar algunos elementos para la reflexión y que cada cual extraiga su propia conclusión. Como en ocasiones anteriores, los datos que utilizo en esta entrada son de paro registrado, no de la EPA, y están extraidos de las estadísiticas del Ministerio de Empleo y Seguridad Social. En la primera tabla podemos ver las cifras de paro registrado desde enero de 2007 hasta mayo de este año.



Paro registrado



 Todos los cálculos que siguen están elaborados sobre esta tabla. Observad que utilizo datos de paro "bruto", no de tasa de paro. No tengo por tanto en cuenta las variaciones de la población activa, lo que sería más correcto pero haría todo un poco más engorroso. Tampoco considero datos anteriores a 2007, porque creo que lo que realmente interesa es la evolución desde el inicio de la crisis y porque así me evito trabajar con tendencias cíclicas.

Todos sabemos que el paro tiene un componente estacional, aumenta en determinados meses y disminuye en otros. Por ejemplo, es normal que el paro baje en verano debido a las contrataciones temporales en el sector de la hostelería. De ahí el comentario de doña Soraya y de ahí el actual escepticismo de la oposicón. Los papeles, por cierto, son intercambiables. El Gobierno siempre ve muy positivo el descenso del paro en tal o cual mes, y la oposición siempe lo atribuye a la estacionalidad, con independencia de quiénes estén en el Gobierno y quiénes en la oposición.

Por tanto de lo que se trata es de saber si el descenso del paro en mayo es mayor o menor de lo que cabe atribuir a la tendencia estacional. Una primera aproximación un tanto tosca es no comparar el dato con el del mes anterior, lo que en realidad tiene poco sentido, sino con el del mismo mes del año anterior. Y resulta que en estos doce meses el desempleo ha aumentado en 176.806 personas. Esto parece contradecir al Gobierno, pero en rigor es un dato acumulado de doce meses que nada nos dice sobre la estacionalidad.

Lo que debemos hacer es "desestacionalizar" la serie. Es decir convertir la serie de datos original en otra de la que hayamos extraído el componente estacional. Para eso existen varios métodos matemáticos, yo lo haré a mi manera y sin la menor pretensión de rigor científico.

Lo primero es hallar la tendencia de fondo de la serie, normalmente llamada tendencia secular. Eso puede hacerse, por ejemplo, mediante el sencillo sistema de medias móviles. Yo he preferido utilizar la regresión lineal, que para los poco duchos en matemáticas, consiste en obtener la línea recta que mejor se ajuste a la serie de datos. La calidad de ese ajuste puede medirse por el coeficiente de correlación, un número que oscila entre cero, cuando no hay ninguna correlación, y uno cuando es perfecta. En este caso es de 0,964 y por tanto bastante buena. La siguiente tabla recoge los valores que nos da la tendencia de fondo.

Datos de tendencia

Para verlo más claro, pongamos ambas tablas en forma de gráfico. La línea azul de la siguente gráfica son los datos reales de paro registrado, en la que pueden apreciarse las subidas y bajadas constantes debidas al componente estacional. La línea roja es la tendencia de fondo.

Paro y tendencia

Si ahora dividimos las cifras de la primera tabla entre los de la segunda, extraemos la tendencia secular, quedándonos solamente con las oscilaciones que se han ido produciendo sobre ella en forma de índices. Lo vemos en la siguiente tabla y el siguiente gráfico.

En el gráfico puede apreciarse como hasta finales de 2008 el paro creció por debajo de la tendencia, entre finales de 2008 y mayo de 2011, el peor período de destrucción de empleo, creció por encima de ella, y desde entonces hasta ahora se ha estabilizado por debajo de la tendencia. Esto último es de notar, la estabilización se inició con el Gobierno anterior y no parece haberse alterado significativamente hasta hoy. En la tabla veréis que en la última columna he hallado la media para cada mes, considernado solo hasta 2012, último año completo. Estos ya son, por fin, los índices de estacionalidad. El siguiente paso sería normalizarlos. Yo no lo he hecho porque la diferencia era muy pequeña y no quería añadir otro paso a una exposición ya de por sí tediosa.

El último paso ya es destacionalizar la serie. Igual que antes extrajimos la tendencia para obtener las variaciones estacionales ahora hacemos lo contrario, eliminar las variaciones estacionales dividiendo los datos de la tabla original entre los índices de estacionalidad. De ese modo obtenemos la evolución del paro que no es atribuible a la estacionalidad. Lo vemos en el último gráfico.

La línea azul es la misma que en el primer gráfico: la evolución del paro registrado en términos absolutos. La línea roja es la evolución desestacionalizada. Como dije al principio, extraiga cada cual su propia conclusión.

Termino insistiendo en que todos estos cálculos son solo una aproximación al problema de un mero aficionado y no tienen la menor pretensión de rigor científico. Si hay algún lector con conocimientos matemáticos mas sólidos y profundos que los míos, le animo a corregirme en todo lo que sea necesario. Y a todos os animo, en esta o en otras cuestiones, a analizar los datos por vosotros mismos o, si no tenéis los conocimientos necesarios, a buscar opiniones más rigurosas (que triste es decirlo) que las de nuestros políticos.

Nota

Después de publicar esta entrad me quedé pensando si los resultados habrían sido muy diferentes de haber utlizado otro procedimiento o haberme remontado más atrás. Sentía curiosidad, así que realicé de nuevo los cálculos con tres diferencias: a) utilicé datos desde 2005 en lugar de 2007, b) utilicé las medias móviles en lugar de la regresión, y c) esta vez normalicé los índces. Suponía que la diferencia sería apreciable y pensaba utilizarlo para comentar que las "ciencias exactas" no lo son tanto. Para mi sorpresa, los gráficos finales son tan parecidos que apenas se distinguen.



Azar, probabilidad, triunfadores y fracasados

Aunque seamos conscientes de que hay acontecimientos fortuitos, no nos gusta pensar que el azar tiene un papel muy relevante en nuestras vidas. De hecho, con frecuencia buscamos explicaciones para hechos que pueden explicarse perfectamente por la teoría de la probabilidad. Veamos un ejemplo.

Supongamos que la probabilidad de que un analista medio acierte en sus predicciones sobre la bolsa es de 1/2. No es una cifra real, la tomo arbitrariamente para el ejemplo para facilitar los cálculos. Eso significa que en dos predicciones, tendrá una probabilidad de 1/4 de acertar las dos veces, otro tanto de fallar ambas y 1/2 de acertar una vez y fallar otra. Para un número mayor de predicciones las probabilidades se pueden calcular mediante el binomio de Newton, que no voy a desarrollar aquí, solo me interesan los extremos y para eso no lo necesitamos. Para diez predicciones, la probabilidad de acertarlas todas sería de 1/1024, igual que la de fallarlas todas.

Pensemos ahora un grupo muy numeroso de analistas bursátiles. Si en un período dado tienen que hacer diez predicciones con esa probabilidad, la mayoría acertarán aproximadamente la mitad de las veces,. Un reducido grupo de ellos,  uno de cada 1024, acertará todas las veces y serán tenidos por unos linces y unos triunfadores, mientras que otros tantos fallarán todas las veces y serán tenidos por unos incompetentes y fracasados. En realidad, en un caso así no habría razón para pensar que haya diferencia entre unos y otros, aparte de que unos hayan caído en el lado bueno y otros en el lado malo de la probabilidad. Obviamente es un ejemplo teórico. En realidad habrá efectivamente unos profesionales mejores que otros, pero antes de encasillarlos habría que ver si sus resultados se desvían significativamente de lo que se puede esperar por simple cálculo de probabilidades.

Este razonamiento podría tal vez aplicarse a otras muchas situaciones que quizá no nos planteamos de esa manera: la probabilidad de superar un examen, de ganar un partido de fútbol o de obtener un puesto de trabajo en una entrevista. Normalmente atribuimos el éxito o fracaso en esas situaciones a lo que ha estudiado el alumno, el talento y entrenamiento de los jugadores, o la cualificación académica y profesional del trabajador.  Y con razón, porque todo eso es muy importante y seguramente el factor más decisivo en cada caso. ¿Pero no juega también el azar su pequeño papel? El buen estudiante se puede encontrar en el examen con la pregunta que menos ha preparado y el malo con la única que se sabe. El mal jugador de fútbol puede meter un gol cuando trata de pasarle a un compañero, y el bueno fallarlo por una racha de viento. En una entrevista el trabajador eficiente puede causar mala impresión porque al entrevistador le recuerda al gilipollas de su cuñado, y el inepto buena por que le recuerda a su hijo.

En uno de sus libros, el matemático John Allen Paulos, del que hablé en otra entrada, se pregunta si las personas que consideramos fracasadas no estarán simplemente atascadas en el lado malo de la probabilidad. Es una buena pregunta. Como en el ejemplo de los analistas, habría que ver si sus resultados en la vida se desvían significativamente de lo que puede explicar la probabilidad. Y como en el ejemplo de los analistas, no significa que podamos utilizar la probabilidad para justificarlo todo.  Como no vamos a pasarnos la vida haciendo cálculos de probabilidades, lo mejor que podemos hacer es pensárnoslo dos veces antes de encasillar a alguien.

Claro que para llegar a esa conclusión no hacía falta ningún razonamiento matemático, es una regla elemental de convivencia. Pero resulta divertido soltárselo a los que "enseguida calan a la gente" y encasillan a todo el mundo, y ver la cara de gilipollas que se les queda. Nunca se convencen, pero al menos me río un rato.

Matemáticas y discriminación

La distribución normal o campana de Gauss es muy frecuente tanto en la naturaleza como en los fenómenos humanos. La mayoría de los valores se agrupan en torno a la media, mientras que los valores que se alejan de ella son cada vez menos frecuentes, siguiendo una distribución simétrica. Un ejemplo característico puede ser la estatura, hay un elevado número de personas de estatura media, mientras que los muy altos o muy bajos son pocos.

Gráfico 1

Imaginemos dos poblaciones de diferente tamaño pero con idéntica estatura media. Puede ser un país grande y uno pequeño, o una minoría dentro de una población mayor. Llamémoslas A y B y digamos que la población A representa el 90% y B el 10%. En el gráfico 1, A sería la línea roja y B la verde. Intiuitivamente quizá pensemos que en un subgrupo de personas muy altas (o muy bajas) seguirá habiendo un 90% de individuos de A y 10% de B, pero no es así. Entre los muy altos habrá un porcentaje mayor de A y menor de B, como se aprecia en el gráfico. Si cambiamos la estatura por otra característica, por ejemplo, la cualificación académica, igualmente entre los muy cualificados (o los muy poco cualificados) habrá un número de miembros de A mayor de lo que podríamos pensar por el porcentaje que representan en la población total.

¿Quiere esto decir que todo lo que parezca discriminación contra las minorías se puede achacar a la distribución normal? Ciertamente no, la discriminación contra ciertos colectivos es real. Si hay tan pocos catedráticos o jueces gitanos no es solo porque sean minoría, sino porque existe también una discriminación real contra este colectivo. Pero la campana de Gauss es una imagen que deberíamos tener en mente a la hora de decir qué es discriminación y hasta qué punto, y qué no lo es.

Gráfico 2

Veamos otro caso posible. Imaginemos ahora que las poblaciones A y B tienen idéntico tamaño, pero los miembros de B son ligeramente más altos en promedio. Esto se representa visualmente en el grafico 2. En este caso, aunque la diferencia de estatura media sea pequeña, los muy altos, a la derecha de la línea azul, serán pertenecerán mayoritariamente a la población B, y los muy bajos a la población A. Imaginemos una hipotética y extravagante empresa que solo contrata castellano-manchegos y canarios. Ambas comunidades tienen una cifra similar de población. Si suponemos que los canarios tienen una cualificación académica media ligeramente superior (es una simple suposición para el ejemplo), nos podríamos encontrar que la gran mayoría de los puestos directivos estarán ocupados por canarios, y la mayoría de los puestos de baja cualificación por castellano-manchegos.

¿Podríamos deducir de este hipotético caso que no existe discriminación? Podríamos deducir que la discriminación, de haberla, estaría en la formación que reciben unos y otros, y no en los responsables de contratación en la empresa. Es otra imagen que deberíamos tener en mente a la hora de decidir qué es discriminación y qué no lo es. O, en este ejemplo, dónde se produce.

Matemáticas para la vida

Cuando era estudiante el psicólogo del centro me dijo que yo tenía una mentalidad muy crítica y analítica. Tal vez sea por eso que tengo una cierta afición a las matemáticas, no tanta como para profundizar en su estudio pero sí para leer de cuando en cuando libros de divulgación sobre el tema. También me gustan los acertijos y pasatiempos lógicos y matemáticos. El caso es que siempre me sorprende el escaso interés que la mayoría de la gente muestra por esta ciencia, que yo encuentro utilísima.

Si a cualquiera de nosotros nos dicen que el precio de un producto sin impuestos son 100 euros y el IVA es el 18%, estoy seguro de que todos calcularemos sin problemas el precio final, 118 €. Si por el contrario nos dicen que el precio final son 100 euros con IVA, es sorprendente la cantidad de personas que tienen dificultades para hallar el precio sin IVA, 84,76€.  Es un ejemplo trivial de nuestra falta de dominio de las matemáticas.

Es una cuestión más seria de lo que parece, porque tener un cierto conocimiento de la ciencia matemática no solamente es importante para numerosas cuestiones prácticas o profesionales, sino que es extraordinariamente útil para entender e interpretar el mundo que nos rodea. No se trata de tener unos conocimientos profundos y exhaustivos, sino de conocer y comprender algunos conceptos básicos.

Hace unos días hablaba de los errores de interpretación a que puede llevar la confusión entre media, mediana y moda, y la práctica habitual en los medios de comunicación de ofrecernos solo la primera. Añado ahora que la media, como cualquier medida de posición, es prácticamente inútil si no va acompañada de una medida de dispersión como la desviación típica. En el colegio nos enseñaron a calcularla, pero poco o nada nos dijeron de su utilidad.

Imaginemos una pequeña sociedad formada por diez personas, la mitad de ellas tienen unos ingresos de 99 euros y la otra mitad 101.  En una segunda sociedad igualmente de diez personas nueve de ellas ganan 1 euro y una gana 991 euros. La media en ambos casos es 100, y si solo tenemos ese dato podemos creer que ambas son similares. El dato que nos indicaría que no lo son es la desviación típica, 1,05 en el primer caso y 313,06 en el segundo.

Veamos un ejemplo más trivial de absurdos matemáticos: recetas de cocina. Se publican a menudo en revistas o libros de cocina recetas que requieren, por ejemplo, una taza de arroz, una cucharada de aceite, tres tomates pequeños, un chorrito de vino, una pizca de sal y pimienta a gusto. Y al final señala que la ración contiene 761 calorías. El uno es totalmente absurdo, y el seis más que dudoso. Lo más sensato sería decir que contiene entre 700 y 800 calorías. Claro que a menos que estemos a dieta, este ejemplo es anecdótico. El problema es que el desconocimiento de las matemáticas puede tener consecuencias más serias. Lo ilustraré con una anécdota.

Cuando se reformó la Ley General de Seguridad Social para el cálculo de pensiones se estableció que las bases de cotización utilizadas en el cómputo se actualizarían según el IPC. Yo me encontraba entonces realizando un curso de recursos humanos y, para mi sorpresa, el ponente encargado de este tema, abogado de profesión, realizó incorrectamente el cálculo debido a un evidente desconocimiento de cómo funcionan los números índices. Se puede decir en su descargo que la reforma era aún reciente y que, como abogado, era hombre "de letras". Pero el hecho es que el resultado era una pensión sensiblemente inferior a lo que correspondería en realidad.

Afortunadamente solo era un ejercicio y nadie se vio perjudicado en su economía, pero me hace preguntarme cuántos profesionales cometerán este tipo de errores sin ser siquiera conscientes de ello. Sobre todo porque la anécdota no es un hecho aislado, me he encontrado en otras ocasiones casos similares, contar todas las anécdotas de este tipo que he vivido no daría tal vez para un libro, pero sí para una buena serie de artículos. Y no solo son las cuestiones de práctica profesional, el desconocimiento de principios matemáticos básicos repercute mucho en nuestra cultura y nuestra capacidad de entender el mundo en que vivimos.

La raíz del problema está, creo yo, en una deficiente enseñanza de esta ciencia en los centros educativos, demasiado centrada en fórmulas, métodos y cálculos y demasiado poco centrada en conceptos y aplicaciones prácticas. La mayoría de las personas terminan la enseñanza obligatoria pensando que las matemáticas son difíciles y aburridas, y no es así. Por supuesto que pueden ser muy complejas, como cualquier ciencia, pero hay muchos conceptos matemáticos útiles que son muy sencillos de entender. Valga como ejemplo la teoría de los juegos, que ha alcanzado un considerable grado de complejidad. Y sin embargo, el dilema del prisionero que exponía en otra entrada lo puede entender cualquiera.

Afortunadamente, hay matemáticos que dedican parte de su tiempo a escribir libros de matemática recreativa o de divulgación de forma asequible a todos. El ejemplo de la receta lo he tomado de uno de esos libros, del matemático estadounidense John Allen Paulos. Tengo varios libros suyos, pero os voy a recomendar solo dos: Un matemático lee el periódico, del que he cogido el ejemplo de las recetas, y El hombre anumérico. No encontraréis en ellos complicadas fórmulas ni cabalísticos razonamientos, solo conceptos y ejemplos sencillos que pueden ayudarnos a entender mejor la realidad.